本文算是三种不同的度量后续。我不打算写严谨的数学，所以阅读时请务必小心。
我介绍的三种度量，最本质的区别是它们所处的空间有不同曲率。直观来说曲率就是弯曲的程度，应该很容易说服自己球和平面的弯曲程度不同吧。
曲率对空间的影响深入方方面面，比如它会影响到“角度”。
让我们仔细思考角度这件事。当我们说圆有三百六十度，我们到底在测量什么？实质上，我们用半径将圆切割成360份，这样每一份就有了两条相交的半径。我们把这样一份圆的两条半径的夹角叫做一度。
360这个数字是一个人为的选择。它天文学有点关系，但在数学上是非常不自然的。想想你的裤子，在档下两条裤管的交界处，画一个圆、等分成360份，拿出一片扇形来，你会发现这个扇形的角度比1度大。
后来引入的弧度在数学上更加自然：它以圆弧与半径的比例来描述角的大小，于是我们没有做任何额外的选择。使用弧度，我们将圆心处的周角（也就是转一圈的角度）定义为2pi。这意思是说，在一个半径为1的圆上，从一点出发，绕圆一周，要走2pi的长度才能回到原点。这话可能有点废话，但很重要。
（这里暗含的一个假设是：半径夹角越大，所对应的圆弧长度越长，而且两者呈正比。而这一假设成立的基础是空间具有旋转对称性，在欧式空间里这一点也是稀松平常的。）
但2pi只是平面上的周角。还是拿裤子举例，为了方便计算，我们引入一条真空中的球形裤：拿两片形状一样、一红一蓝的圆布片叠在一起，沿着一条半径剪开，再把两个布片沿着重叠的两条半径缝合，这样你就得到了一片布料。展开这片布料，你会发现，像裤子一样，这片布不能在桌子上平摊开，总会有皱褶。
首先让我们确认我们得到是一个“圆”。确实，从圆心处到布片外延任何一点，长度都是相等的。我们对圆布片的缝剪没有影响到这部分路径。
现在让我们使用弧度来测量圆心处的周角。从红布的一条半径出发，看看我们要在圆周上走多少路才能回到原点。因为我们缝上了两片圆布片，我们要走……4pi的路！
是的，我们的手工小课堂得到了一个显然不是欧式空间的空间。在圆心处，圆周角有4pi。
你可以用同样的精神得到更小的圆周角。比方说，拿一个半圆，将两条半径缝合在一起，这样一来圆心处的周角就只有pi。Lovely jubbly！
现在让我们把这个思想实验（或者如果你真的拿着布，那就是实验）稍稍往前推一步。现在，拿出一片半径为1的半圆和一片半径为2的圆。把小的半圆沿半径缝合。现在，把这个新鲜出炉的小帽子放在大圆上，确保帽子尖的影子落在大圆的圆心上。
这时候，小圆的边界会和大圆上的某个同心圆完美重合，用铅笔画出这个圆。一点迅速的计算会告诉你，在大圆上，这个同心圆的半径是0.5。沿着这条圆剪掉大圆内部的布料，再把帽子尖和这个帽檐缝上，我们得到了一顶巫师帽！
看看我们的巫师帽关于弧度有何话说。（你应该首先确认我们接下来讨论的都是“圆”，as in，从圆心到圆周任意一点的长度相等。）一点基本的加减会告诉你，从帽子尖到帽檐的长度是2.5。
站在帽子尖处，一个半径为1的圆，圆周长度为pi，因为这个圆来自于我们的小小半圆。这个圆周提供的弧度是pi。
而一个半径为2.5的圆，其圆周来自于我们的大圆，也就是4pi。这个圆周提供的弧度是1.6pi。
于是，你得到了两个弧度。
什么？发生了什么？？
我希望你能意识到巫师帽和我们前两个小手工的一处重要不同：“弧度”发生了变化。如果我们肯费点心思，给巫师帽多插几层，你可以想象这样一个空间：随着半径的增加，它的弧度也逐渐增加。
反过来，如果你在球面上测量圆周与半径的比率，随着半径增加，你得到的数字会从2pi减少到1。
我猜你意识到我们在走向哪里了：空间曲率会影响圆周和半径随着半径增大的比率变化。或者讲得更方便一点，如果把圆周长度写成半径r的函数，那么空间曲率会影响这个函数的增长速率。
在曲率为零的空间，这个函数是线性的。欧式空间的函数是2pi r、我们的前两个小手工给出的是4pi r 和 pi r。在曲率为正的空间，这个函数是亚线性的，而在负曲率空间里，这个函数甚至可以是指数。
不过比较两个长度有什么意思？为什么不比较长度和面积？如果考虑“圆”的面积随半径增长比率的函数，我们会得到更有意思的结果：显而易见，在欧式空间里，这个函数是平方。在标准的双曲空间里，这个函数是指数。某种意义上来说，双曲空间更大。
如果对这个话题有兴趣，几何群论里一类重要问题是Dehn function。略有相似的几何里一类重要问题叫做Isoperimetric Inequality。