這是我的「BlogBlog 同樂會 - 2026 年 7 月 」的投稿文章。本月主題是「有趣的小知識或冷門概念」，由劉昕主持。如果你有自己的部落格，歡迎一起來參加！
在「有趣的小知識或冷門概念」里看见了Metric这个单词，于是决定写一篇关于Metric的文章。
你有没有注意到，在导航软件中移动的方式和现实生活中不同呢？你有没有意识到这其中有另一个世界的入口？当我们说远、近，我们到底在说什么？
敬请收看本期走进数学。
（等等！我保证本文没有任何需要计算的地方！真的！别走！）
导入
让我们先来简单定义一下Metric（度量）。你有没有问过诸如“从家到学校要多远呢？”、“离家最近的麦当劳在哪里？”之类的问题？这一类问题的本质，是要求我们给出两点之间的距离。
以防万一，让我们先简单（而不严谨）地定义一下距离。如果你要回答“从家到学校有多远”这个问题，你会考虑最短的那条路的长度，然后回答，比方说，“大概五公里。”也就是说，距离是两点之间最短路径的长度1。
但是，等等，如果你还记得一点小学数学的话，两点之间直线最短。实际上，从家到学校的直线距离是三公里，但那意味着我要穿过高速公路、穿过银行大楼、穿过学校围墙……所以我压根不会考虑这条理论上最短的路；我得考虑哪些路我能走，哪些路我不能，于是我得出了一个不同的答案。
也就是说，“最短的路”是一个可以动手脚的地方。在这个例子中，我动的手脚是ban掉了一些路径。顺带一提，在这个例子中，我家和学校的最短路径看起来不是直的，但这只是因为我用的地图不对。
让我再举另一个例子：我家附近有两家超市。超市A附近没有公交站，只能走路过去，要走四十分钟。超市B走路过去要一个小时，但是有公交直达，坐车只需要二十分钟。哪家超市更近？
你可能已经意识到了，我动的手脚是如何测量；我不再说“有多少公里”，取而代之，我说的是“要花多长时间”。于是，在新的测量方式下，超市B比超市A更近。
再次：如果在地图上画出到AB两家超市的路线，我们是看不出超市B更近的。要把这种远近忠实地表现在地图上，我需要把我家到超市B之间的距离缩短一点。
好啦，现在我们知道怎么测量两点之间的距离了。度量负责给一个空间中的任意两点一个距离（在数学里这只是一个数字，但为了方便，本文会使用单位）。我再强调一遍：距离和度量都取决于如何挑选“最短的路”。
接下来就是收获时刻了！
欧几里德度量（欧式度量）
让我们从最基础的度量开始。如果你不记的欧式度量是什么，只需掏出一把钢尺，这就是欧式度量的具现化。当我们说两点之间直线最短，我们用的就是欧式度量。
我们常用的长度体系，不管是公制的米、分米、厘米，还是英制的英里、英寸，测量的统统都是欧式度量下的距离。
在前文两个例子中，我反复强调“我们用的地图不对”，就是因为地图用的是欧式度量，而我们出于种种原因，用了不同的度量。
那为什么还是要用欧式度量？因为它提供了一个基准。我们使用的一切度量，都是在欧式度量的基础上进行比较、修改。事实上，有一条定理说任何空间都可以镶嵌进一个足够大的欧式空间里，也就是说任意度量都是可以和欧式度量比较的。
球面度量
如果你看过长距离飞行的航线图，你会发现飞机飞行的路线并不是直线，而是一条弧线。为什么会这样？因为飞机在走“最短的距离”，而最短距离落在欧式度量的地图上，不是直线。也就是说：我们再一次用了不同的度量。
也许你听说过，地球是圆的，而地图只是地球的某种投影，地图上的距离并不代表地球上的真实距离。在日常生活中，我们行动的尺度太小，以至于感觉不出来地球的弧度，平面地图也足够准确。但在远距离飞行的尺度下，地球的弧度就无法忽视了。
想象一下，拿一个地球仪，或者篮球/足球/随便什么球，再拿一条线，把线贴在球面上拉“直”。你会发现把线拉到最紧时，得到的是一条弧线。这就是球面上的“直线”。
为什么会这样？因为球面限制了线可以走的地方。就像我在第一个例子中ban掉了横穿银行大楼的路线，球面ban掉了横穿球体的路线。于是，我们得到了全新的度量——球面度量。
所以下次看到弧形的飞行线路，你就可以跟亲友介绍：我们现在飞的是直线哦！只不过不是欧式几何下的直线，而是球面度量下的直线。
（在数学里我们管最短线叫“测地线”，字面意思就是测量大地的线哦。）
双曲度量
好啦，现在我们终于回到文章最开始讲的，导航软件里的度量！ 本段的参考文献来自于这篇文章。需要Springer订阅。
为了讲解方便，让我们姑且假设地球是平的，完全长成地图那样。
先回忆一下，我们在导航软件里是怎么移动的。如果要从新西兰移动到俄罗斯，我们会先缩小地图，再移动到俄罗斯，再放大地图，没错吧？
虽然导航软件里的地图是平面的，但我想邀请你想象导航软件里也有高度。想象你在缩小地图的时侯，其实你是在导航世界里升上高空。
这应该挺直观的吧？和现实生活中一样，当我们升上高空时，地面的一切看起来都变小了。
但是，接下来发生的事情说明了导航世界和现实世界截然不同。在现实中，不管我升多高，从新西兰到俄罗斯始终是十万三千公里。但在导航世界中，在足够高的高空中（地图缩得足够小时），从新西兰移动到俄罗斯，只需要三厘米。
我们要怎样想象这个世界？在每一个高度，都有一张同样的地图。随着高度增加，这个地图不断等比例缩小。高度为零的时候，这张地图和我们的世界一一对应。
在这个世界里，两点之间最短的路线长这样：先往上走，找到一张足够小的地图以后，在这个平面上走一步，然后往下走。
这条奇怪的最短线就是在说：这个空间的度量和欧式度量完全不同。这个空间所代表的一类空间，都叫做双曲空间（Hyperbolic Space）。
下次你打开导航软件时，好好欣赏一下这一个非欧空间吧。在你眼前的，乃是双曲几何这一美妙新数学的具现化。
（或者你也可以欣赏一下你的裤子。没错，你的裤子上也有双曲几何。）
打包冷知识
最后，附赠一个你可以随口说出来的冷知识。
长久以来，欧式几何是人们唯一认可的几何体系，直到19世纪，球面几何与双曲几何等非欧几何相继诞生，我们有了更准确的工具去描述我们的世界（以及更多课题和博士后岗位）。非欧几何和欧式几何的区别是什么？是第五公理。
欧式几何的一切结论，都是在五条公理上推导得出。其中第五条公理说2：
给定一条直线，通过此直线外的任意一点，有且仅有一条直线与之平行。
让我省略“直线”和“平行”的定义。非欧几何都违背了这一公理（但仍遵循其余四条公理）。在球面几何中，“直线”是球面上最大的圆，任意两个大圆必然相交，因此第五公理不成立。在双曲几何中，则至少有两条符合条件的“直线”。
下次你想炫耀自己的数学功底时，只需幽幽地说一句：“你知道吗，我们能坐飞机，都是因为欧式几何的第五公理是一种选择，而非真理哦。”
（最好再自己查一下另外四条公理是什么，做戏做全套嘛。）